题目内容
【题目】已知函数.
(1)求在上的单调区间;
(2)当时,求不等式的解集;
(3)当时,设函数,求证:不等式在定义域上恒成立.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析
【解析】
(1)求出导函数,对a分类讨论,解不等式即可得到单调区间;(2)借助(1)中的单调性,数形结合解不等式即可;(3)令:,求出其最小值为零即可.
(1)=0,则
①当即 此时
在上单调增;
②当 即
在,此时,
在上单调减;
在,此时,
在上单调增。
③当 即 此时 在上单调减。
综上所述:
,在上单调增,
, 在上单调减,在上单调增
,在上单调减
(2)
此时的导数 在,,
在上单调减;
在,,
在上单调增。
当时,恒成立。
当时,,且为单调增函数,所以解集为
(画出图像,交代在时,即可)
(3)由题意知可令:
则有
又因为时有,时有,
即函数在
所以即有;得证
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