Question

4．设二次函数y=f（x）的最大值为9，且f（3）=f（-1）=5，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，4]上的最值．

Answer 1

分析 （1）设出函数的解析式，求出函数的对称轴，通过f（3）=f（-1）=5，以及最值求解函数的解析式即可．
（2）判断函数的单调性，然后求解区间上的最值．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
$\begin{array}{c}∵f（3）=f（-1）=5\end{array}\right.$
∴$-\frac{b}{2a}=1，a-b+c=5$（1）
由函数y=f（x）的最大值为9可得：f（1）=a+b+c=9   （2）
由（1）、（2）解得：a=-1，b=2，c=8
所以 f（x）=-x²+2x+8．
（2）因为f（x）对称轴为x=1
所以f（x）在[0，1]上单调递增，在（1，4]上单调递减
则f（x）_max=f（1）=9，f（x）_min=f（4）=0，

点评 本题考查函数的解析式的求法，二次函数的基本性质的应用，考查计算能力．