Question

16．设函数f（x）=（a²+2）x²-2ax
（1）解关于x的不等式f（x）≤0
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，求|x₁-x₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）解（a²+2）x²-2ax得：x=0，或x=$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$，分别讨论$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$与0的关系，结合二次函数的性质，可得不等式f（x）≤0的解集；
（2）由韦达定理的推论2得：|x₁-x₂|=$\frac{\left|2a\right|}{{a}^{2}+2}$，构造函数g（x）=$\frac{\left|2x\right|}{{x}^{2}+2}$=$\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{{x}^{2}+2}，x＜0\\ \frac{2x}{{x}^{2}+2}，x≥0\end{array}\right.$，利用导数法求其最大值，可得答案．

解答 解：（1）∵a²+2＞0，
解（a²+2）x²-2ax得：x=0，或x=$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$，
当a＜0时，$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$＜0，不等式f（x）≤0的解集为：[$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$，0]，
当a=0时，$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$=0，不等式f（x）≤0的解集为：{0}，
当a＞0时，$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$＞0，不等式f（x）≤0的解集为：[0，$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$]；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，
由韦达定理的推论2得：|x₁-x₂|=$\frac{\left|2a\right|}{{a}^{2}+2}$，
令g（x）=$\frac{\left|2x\right|}{{x}^{2}+2}$=$\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{{x}^{2}+2}，x＜0\\ \frac{2x}{{x}^{2}+2}，x≥0\end{array}\right.$，
则g′（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2{x}^{2}-4}{{（x}^{2}+2）^{2}}，x＜0\\ \frac{-2{x}^{2}+4}{{（x}^{2}+2）^{2}}，x≥0\end{array}\right.$，
令g′（x）=0，则x=$±\sqrt{2}$，
当x$＜-\sqrt{2}$，或0$＜x＜\sqrt{2}$时，g′（x）＞0，函数为增函数；
当$-\sqrt{2}＜x＜0$，或x$＞\sqrt{2}$时，g′（x）＜0，函数为减函数；
故当x=$±\sqrt{2}$时，g（x）取最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即|x₁-x₂|的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分类讨论思想，分段函数的应用，函数的最值，难度中档．