Question

【题目】如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三角形,且,侧面⊥底面.

(1)若分别为棱的中点,求证:∥平面；

(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析( 2)

【解析】

分析：（1）取中点,连结,由三角形中位线定理可得,可证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点,连结、,先证明、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，平面的法向量为，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.

详解：(1)取中点,连结,∵分别为、中点，∴//,, 又点为中点,∴且,∴四边形为平行四边形,∴∥,

又 平面, 平面,∴∥平面.

(2)取中点,连结、,∵ 是以 为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴ ,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又 平面,∴⊥,由已知易得:、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,

则,设 ,

则:,.

设平面ABF的法向量为,则,

∴,令,则

,∴.

又平面的法向量为,由二面角成角得:,

∴,解得:,或不合题意,舍去

.∴,当棱上的点满足时, 二面角成角.