Question

【题目】设,函数.

(1) 若，求曲线在处的切线方程；

(2)求函数单调区间

(3) 若有两个零点,求证: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令，可得函数增区间，，可得函数的减区间；（3）原不等式等价于 令,则,于是，，利用导数可证明，从而可得结果.

详解：在区间上,.

（1）当时，则切线方程为，即

（2）若,则,是区间上的增函数,

若,令得: .

在区间上, ,函数是增函数;

在区间上, ,函数是减函数;

(3)设

,

原不等式

令,则,于是.（9分）

设函数 ,

求导得:

故函数是上的增函数,

即不等式成立,故所证不等式成立.