题目内容
如图，在三棱锥
中，
，
，D为AC的中点，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）如果三棱锥
的体积为3，求
.
中，，，D为AC的中点，.（1）求证：平面
平面；（2）如果三棱锥
的体积为3，求.（1）证明过程详见解析；（2）
.
.试题分析：本题主要以三棱锥为几何背景考查线线垂直、平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定以及用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和计算能力.第一问，根据已知条件，取
中点
，连结
，得出
，再利用，根据线面垂直的判定证出
平面
，从而得到垂直平面内的线
，再利用为中位线，得出
平面
，最后利用面面垂直的判定证明平面垂直平面；第二问，根据已知进行等体积转换，利用三棱锥的体积公式列出等式，解出
的值.试题解析：（Ⅰ）取
中点为，连结，
． 因为
，所以
．又
，
，所以平面，因为
平面，所以
． 3分由已知，
，又
，所以
，因为
，所以平面．又
平面，所以平面⊥平面． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
平面．设
，因为
为
的中点，所以
， 10分由
解得
，即． 12分
练习册系列答案
相关题目
中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如下左图）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如下右图），已知D是AB的中点．
中，
且
.
;
.
中，AC⊥BC，AB⊥
，
，D为AB的中点，且CD⊥
。
⊥平面ABC；
的体积。
中，
面
，
交
于点
，
是
中点，
为
；
//平面
，并说明理由．
点出发沿正方体的表面到达点
的最短路程为 ．
