Question

3．设A，B是抛物线x²=2py（p＞0）两点，且满足$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
（1）求证：直线AB经过一定点
（2）当线段AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求p的值．

Answer 1

分析 （1）欲证直线经过定点，只需找到直线方程，在验证不管参数为何值都过某一定点即可，可根据直线OA，OB垂直，设AB方程，根据OA，OB垂直消去一些参数，再进行判断；
（2）设AB中点的坐标，根据OA，OB垂直，可得AB中点坐标满足的关系式，再用点到直线的距离公式求AB的中点到直线y-2x=0的距离的，求出最小值，让其为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解参数p即可．

解答 （1）证明：设A，B两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
则 x₁²=2py₁，x₂²=2py₂．
经过A，B两点的直线方程为（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）．
由y₁=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，y₂=$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$
得（x₂-x₁）（y-y₁）=（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$）（x-x₁）．
∵x₁≠x₂．
令x=0，得y-y₁=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2p}$（x-x₁），
∴y=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2p}$（*）
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，从而x₁x₂+$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{4{p}^{2}}$=0．
∵x₁x₂≠0，∴x₁x₂=-4p²．
代入（*），得 y=2p，
∴AB始终经过定点（0，2p）．
（2）解：设AB中点的坐标为（x，y），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴x₁²+x₂²=2py₁+2py₂=2p（y₁+y₂）．
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²+8p²，
∴4x²+8p²=4py，
即y=$\frac{1}{p}$x²+2p．…①
AB的中点到直线y-2x=0的距离d=$\frac{|y-2x|}{\sqrt{5}}$．
将①代入，得d=$\frac{|\frac{1}{p}{x}^{2}-2x+2p|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{1}{p}（x-p）^{2}+p}{\sqrt{5}}$，
因为d的最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴当x=p时，取得最小值$\frac{p}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴p=2．

点评 本题考查抛物线的方程和应用，主要考查了直线与抛物线的位置关系的判断，注意韦达定理的应用，同时考查直线恒过定点的求法，属于中档题．