Question

4．设函数f（x）=x²+（a+2）x+3a-3-10ln（x+3），其中a∈R
（1）当a=-4时，求函数f（x）的极值
（2）若曲线y=f（x）不经过第四象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，判断函数的单调区间，求出函数的极值点，继而求出函数的极值；
（2）有题意得到f（0）≥0，并判断函数f（x）在[0，+∞）为单调增函数，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）a=-4时，f（x）=x²-2x-15-10ln（x+3），x＞-3，
∴f′（x）=2x-2-$\frac{10}{x+3}$=$\frac{2（x-2）（x+4）}{x+3}$
令f′（x）=0，解得x=2，或x=-4（舍去），
当x＞2时，函数单调递增，
当-3＜x＜2时，函数单调递减，
∴当x=2时，函数有极小值，极小值为f（2）=-15-10ln5，
无极大值．
（2）∵f（x）=x²+（a+2）x+3a-3-10ln（x+3），
∴f（0）=3a-3-10ln3，
∵y=f（x）不经过第四象限，
∴当x≥0时，y≥0，
∴f（0）=3a-3-10ln3≥0，
解得a≥1+$\frac{10ln3}{3}$，
∵f′（x）=2x+（a+2）-$\frac{10}{x+3}$，
当x≥0时，f′（x）=a+2-$\frac{10}{3}$，
∵a≥1+$\frac{10ln3}{3}$，
∴f′（x）≥1+$\frac{10ln3}{3}$+2-$\frac{10}{3}$＞3＞0，
∴当x≥0时，f（x）单调递增，
∴f（x）＞f（0）≥0，
故a的取值范围为[1+$\frac{10ln3}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了导数和函数的单调性、极值的关系，参数的取值范围，培养了学生的转化能力和运算能力，属于中档题．