Question

2．设a，b，c，d∈R⁺，且a+b+c＞d，求证：$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$+$\frac{c}{1+c}$＞$\frac{d}{1+d}$．

Answer 1

分析 由放缩法可得$\frac{a}{1+a}$＞$\frac{a}{1+a+b+c}$，$\frac{b}{1+b}$＞$\frac{b}{1+a+b+c}$，$\frac{c}{1+c}$＞$\frac{c}{1+a+b+c}$，相加，再由条件a+b+c＞d，取倒数，由不等式的性质，即可得证．

解答 证明：a，b，c，d∈R⁺，
由$\frac{a}{1+a}$＞$\frac{a}{1+a+b+c}$，
$\frac{b}{1+b}$＞$\frac{b}{1+a+b+c}$，
$\frac{c}{1+c}$＞$\frac{c}{1+a+b+c}$，
相加可得，
$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$+$\frac{c}{1+c}$＞$\frac{a+b+c}{1+a+b+c}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{a+b+c}}$，
由a+b+c＞d，可得$\frac{1}{a+b+c}$＜$\frac{1}{d}$，
即有$\frac{1}{1+\frac{1}{a+b+c}}$＞$\frac{1}{1+\frac{1}{d}}$=$\frac{d}{1+d}$，
则有$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$+$\frac{c}{1+c}$＞$\frac{d}{1+d}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查放缩法证明不等式的应用，考查推理能力，属于中档题．