题目内容
10．
已知点P（2，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，且点P在x轴上的射影恰好是椭圆C的焦点．（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过点M（0，m）（m＞0）的直线与椭圆C交于A，B两点，在直线y=-m上存在点N，使△NAB为正三角形，求m的最大值．
分析 （1）由题意求得c，再把点P的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求出a2=5，b2=1，则椭圆方程可求；
（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设出直线l的方程，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得AB中点的坐标，得到AB的垂直平分线方程，进一步求出N的坐标，由弦长公式求出AB的长度，由点到直线的距离公式求出N到AB所在直线的距离，结合正三角形中边的关系列式，化简后得到关于k2的二次方程，进一步由判别式大于等于求出m的范围，且验证后满足k存在，从而求出m的最大值．
解答 解：（1）由题意可得，c=2，且$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{5{b}^{2}}=1$，
又a2=b2+c2，解得：a2=5，b2=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
（2）由题意可设A、B所在直线方程为y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（5k2+1）x2+10kmx+5m2-5=0．
则△=100k2m2-4（5k2+1）（5m2-5）=20（5k2-m2+1）＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{10km}{5{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{5{m}^{2}-5}{5{k}^{2}+1}$．
y1+y2=k（x1+x2）+2m=$-\frac{10{k}^{2}m}{5{k}^{2}+1}+2m=\frac{2m}{5{k}^{2}+1}$．
∴AB的垂直平分线方程为：y-$\frac{m}{5{k}^{2}+1}$=$-\frac{1}{k}（x+\frac{5km}{5{k}^{2}+1}）$，
取y=-m，得x=$\frac{5{k}^{3}m-3km}{5{k}^{2}+1}$．
∴N（$\frac{5{k}^{3}m-3km}{5{k}^{2}+1}$，-m），
则N到直线kx-y+m=0的距离为$\frac{|\frac{5{k}^{4}m-3{k}^{2}m}{5{k}^{2}+1}+2m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{5{k}^{4}m+7{k}^{2}m+2m}{（5{k}^{2}+1）\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{100{k}^{2}{m}^{2}}{（5{k}^{2}+1）^{2}}-\frac{20{m}^{2}-20}{5{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{20（5{k}^{2}-{m}^{2}+1）}}{5{k}^{2}+1}$．
由$\frac{5{k}^{4}m+7{k}^{2}m+2m}{（5{k}^{2}+1）\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{20（5{k}^{2}-{m}^{2}+1）}}{5{k}^{2}+1}$，
得$（5{k}^{2}+2）m=\sqrt{15（5{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$．
两边平方并整理得：25m2k4+（20m2-75）k2+19m2-15=0．
令k2=t（t≥0），
则方程化为25m2t2+（20m2-75）t+19m2-15=0．
要使该方程有实数根，则△=（20m2-75）2-100m2（19m2-15）≥0，
整理并解得：$0≤{m}^{2}≤\frac{3}{2}$．
当${m}^{2}=\frac{3}{2}$时，19m2-15＞0，此时方程25m2t2+（20m2-75）t+19m2-15=0有非负实数根．
∴k2有正解，即k存在．
由$0≤{m}^{2}≤\frac{3}{2}$，得$-\frac{\sqrt{6}}{2}≤m≤\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴m的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，涉及直线和圆锥曲线间的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，该题着重考查了计算能力，属难度较大的题目．
