题目内容
.(本小题满分14分)
已知数列
,
,其中
是方程
的两个根.
(1)证明:对任意正整数
,都有
;
(2)若数列
中的项都是正整数,试证明:任意相邻两项的最大公约数均为1;
(3)若
,证明:
。
已知数列




(1)证明:对任意正整数


(2)若数列

(3)若


证明:(1)
是方程
的两个根,
故对任意正整数
,

故
;
(2)由(1)与更相减损术可得:对任意正整数
,

故命题成立;
(3)
是方程
的两个根且
,故
由
可得:


故


故对任意正整数



故

(2)由(1)与更相减损术可得:对任意正整数


故命题成立;
(3)



由



故

略

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