题目内容
【题目】如图，在几何体
中，底面
为矩形， 
， 
．点
在棱
上，平面
与棱
交于点
．
（Ⅰ）求证： 
；
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
（Ⅲ）若
， 
， 
，平面
平面
，求二面角
的大小．
【答案】（1）见解析（2）见解析(3) 
【解析】试题分析：（Ⅰ）由线面平行判定定理得
平面
，由线面平行性质定理得
；（Ⅱ）通过线面垂直
平面
，得面面垂直；（Ⅲ）先证
， 
， 
两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出面
的法向量为
，结合面
的法向量为
，求出法向量夹角即可.
试题解析：（Ⅰ）因为
为矩形，所以
，所以
平面
．
又因为平面
平面
，所以
．
（Ⅱ）因为
为矩形，所以
．因为
，所以
平面
．
所以平面
平面
．
（Ⅲ）因为
， 
，所以
平面
，所以
．
由（Ⅱ）得
平面
，所以
，所以
， 
， 
两两互相垂直．建立空间直角坐标系
．
不妨设
，则
，设
．
由题意得， 
， 
， 
， 
， 
， 
．
所以
， 
，设平面
的法向量为
，则
即
令
，则
，所以
．
又平面
的法向量为
，所以
．
因为二面角
的平面角是锐角，所以二面角
的大小
．
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