Question

【题目】设函数f（x）=ax+（k﹣1）a﹣x（a＞且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x2+x）+f（t﹣2x）＞0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）= ，设g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定义域为R的奇函数；

∴f（0）=0；

∴k=0

（2）解：f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1）；

由f（1）＞0得 ；

∴a＞1；

∴ax单调递增，a﹣x单调递减；

故f（x）在R上单调递增；

∵f（﹣x）=﹣f（x）；

∴不等式化为f（x2+x）＞f（2x﹣t）；

∴x2+x＞2x﹣t；

∴x2﹣x+t＞0恒成立；

∴△=1﹣4t＜0；

∴t的取值范围为

（3）解：∵f（1）= ，∴ ；

即2a2﹣3a﹣2=0；

∴a=2，或a= （舍去）；

∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2；

令t=f（x）=2x﹣2﹣x，

由（2）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数；

∵x≥1，∴t≥f（1）= ；

令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥ ）

①若m≥ ，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣1，∴m= ，∴m= ；

②若m＜ ，当t= 时，h（t）min= ﹣3m=﹣1，解得m= ，舍去；

综上可知m=

【解析】（1）根据f（x）为定义在R上的奇函数便有f（0）=0，从而可以求出k=0；（2）先得出f（x）=ax﹣a﹣x ， 根据f（1）＞0便可得出a＞1，从而判断出f（x）为增函数，从而由原不等式可得x2﹣x+t＞0恒成立，这便有△=1﹣4t＜0，这样便可得出t的取值范围；（3）由f（1）= 便可求出a=2，从而可以得到g（x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，可设t=f（x）=2x﹣2﹣x ，可令h（t）=（t﹣m）2+2﹣m2 ， 该二次函数的对称轴为t=m，讨论m： 时，t=m时，h（t）取到最小值2﹣m2=﹣1，这样便可求出m= ；m 时，t= 时，h（t）取到最小值 ，得到m= ，不满足m ，从而便得到m的值只有一个为 ．