题目内容
1.已知函数f(x)=logmx(m>0且m≠1),点(an,2n)在函数f(x)的图象上.(Ⅰ)若bn=an•f(an),当m=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时,求数列{bn}的前n项和Sn;
(Ⅱ)设cn=an•log2an,若数列{cn}是单调递增数列,求实数m的取值范围.
分析 (Ⅰ)由题意可得an=m2n,由对数的运算性质可得bn=2n•($\frac{1}{3}$)n.由错位相减法,即可得到数列{bn}的前n项和Sn;
(Ⅱ)由对数的运算性质求出cn,cn+1,若数列{cn}是单调递增数列,则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$>1,由恒成立思想,解不等式即可得到m的范围.
解答 解:(Ⅰ)由题意可得2n=logman,即有an=m2n,
bn=an•f(an)=m2n•2n,
当m=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时,bn=2n•($\frac{1}{3}$)n.
Sn=2$•\frac{1}{3}$+2•2•$\frac{1}{9}$+2•3•$\frac{1}{27}$+…+2n•($\frac{1}{3}$)n①
$\frac{1}{3}$Sn=2•$\frac{1}{9}$+2•2•$\frac{1}{27}$+2•3•$\frac{1}{81}$+…+2n•($\frac{1}{3}$)n+1②
②-①,可得$\frac{2}{3}$Sn=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{27}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$-2n•($\frac{1}{3}$)n+1
=$\frac{\frac{2}{3}(1-\frac{1}{{3}^{n}})}{1-\frac{1}{3}}$-2n•($\frac{1}{3}$)n+1=1-($\frac{1}{3}$)n-2n•($\frac{1}{3}$)n+1
即有Sn=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{2•{3}^{n}}$;
(Ⅱ)cn=an•log2an=m2n•2nlog2m,m>0且m≠1.
cn+1=m2n+2•2(n+1)log2m,
若数列{cn}是单调递增数列,
则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{{m}^{2n+2}}{{m}^{2n}}$•$\frac{2(n+1)}{2n}$=m2•$\frac{n+1}{n}$>1,
即为m2>$\frac{n}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$,
由于1-$\frac{1}{n+1}$<1,可得m2≥1,
解得m≥1或m≤-1.
由m>0且m≠1,可得m>1.
则实数m的取值范围是(1,+∞).
点评 本题考查等比数列的求和和数列的求和方法:错位相减法,同时考查数列的单调性的判断,考查运算能力,属于中档题和易错题.
A. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ |
A. | $\sqrt{5}$ | B. | 2 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{2}$ |
A. | $({0,\frac{1}{10}})$ | B. | $({0,\frac{1}{10}})∪({10,+∞})$ | C. | $({\frac{1}{10},10})$ | D. | (10,+∞) |
A. | “若平面上两直线互相垂直,则这两条直线的斜率之积为-1”为真命题 | |
B. | 命题“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,${2}^{{x}_{0}}$≤0” | |
C. | 命题“幂函数y=${x}^{\frac{1}{3}}$的定义域为R”是假命题 | |
D. | 在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充分不必要条件 |