题目内容

1.已知函数f(x)=logmx(m>0且m≠1),点(an,2n)在函数f(x)的图象上.
(Ⅰ)若bn=an•f(an),当m=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时,求数列{bn}的前n项和Sn
(Ⅱ)设cn=an•log2an,若数列{cn}是单调递增数列,求实数m的取值范围.

分析 (Ⅰ)由题意可得an=m2n,由对数的运算性质可得bn=2n•($\frac{1}{3}$)n.由错位相减法,即可得到数列{bn}的前n项和Sn
(Ⅱ)由对数的运算性质求出cn,cn+1,若数列{cn}是单调递增数列,则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$>1,由恒成立思想,解不等式即可得到m的范围.

解答 解:(Ⅰ)由题意可得2n=logman,即有an=m2n
bn=an•f(an)=m2n•2n,
当m=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时,bn=2n•($\frac{1}{3}$)n
Sn=2$•\frac{1}{3}$+2•2•$\frac{1}{9}$+2•3•$\frac{1}{27}$+…+2n•($\frac{1}{3}$)n
$\frac{1}{3}$Sn=2•$\frac{1}{9}$+2•2•$\frac{1}{27}$+2•3•$\frac{1}{81}$+…+2n•($\frac{1}{3}$)n+1
②-①,可得$\frac{2}{3}$Sn=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{27}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$-2n•($\frac{1}{3}$)n+1
=$\frac{\frac{2}{3}(1-\frac{1}{{3}^{n}})}{1-\frac{1}{3}}$-2n•($\frac{1}{3}$)n+1=1-($\frac{1}{3}$)n-2n•($\frac{1}{3}$)n+1
即有Sn=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{2•{3}^{n}}$;
(Ⅱ)cn=an•log2an=m2n•2nlog2m,m>0且m≠1.
cn+1=m2n+2•2(n+1)log2m,
若数列{cn}是单调递增数列,
则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{{m}^{2n+2}}{{m}^{2n}}$•$\frac{2(n+1)}{2n}$=m2•$\frac{n+1}{n}$>1,
即为m2>$\frac{n}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$,
由于1-$\frac{1}{n+1}$<1,可得m2≥1,
解得m≥1或m≤-1.
由m>0且m≠1,可得m>1.
则实数m的取值范围是(1,+∞).

点评 本题考查等比数列的求和和数列的求和方法:错位相减法,同时考查数列的单调性的判断,考查运算能力,属于中档题和易错题.

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