题目内容

14.某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为
W121518
P0.30.50.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.
(1)求Z的分布列和均值;
(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.

分析 (1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,列出可行域,目标函数,通过当W=12时,当W=15时,当W=18时,分别求出目标函数的最大获利,然后得到Z的分布列.求出期望即可.
(2)判断概率类型是二项分布,然后求解所求概率即可.

解答 (12分)
解:(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有
 $\left\{\begin{array}{l}2x+1.5y≤W\\ x+1.5y≤12\\ 2x-y≥0\\ x≥0,y≥0\end{array}\right.$,①如图1,目标函数为:z=1000x+1200y.
当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).
将z=1000x+1200y变形为$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$,
当x=2.4,y=4.8时,直线l:$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$在y轴上的截距最大,
最大获利Z=Zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160.
当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0)..
将z=1000x+1200y变形为$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$,
当x=3,y=6时,直线l:$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$在y轴上的截距最大,
最大获利Z=Zmax=3×1000+6×1200=10200.
当W=18时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).

将z=1000x+1200y变形为:$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$,
当x=6,y=4时,直线l:y=-56x+z1200在y轴上的截距最大,最大获利Z=Zmax=6×1000+4×1200=10800.
故最大获利Z的分布列为:

Z81601020010800
P0.30.50.2
因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708
(2)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率P1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,
由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为:
$P=1-{(1-{P}_{1})}^{3}=0.973$.

点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.

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