Question

2．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{9}$b²+c²的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；
（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．

解答 解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c，
当且仅当-a≤x≤b时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=4；
（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，
（$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{9}$b²+c²）（4+9+1）≥（$\frac{a}{2}$•2+$\frac{b}{3}$•3+c•1）²=（a+b+c）²=16，
即$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{9}$b²+c²≥$\frac{8}{7}$
当且仅当$\frac{\frac{1}{2}a}{2}$=$\frac{\frac{1}{3}b}{3}$=$\frac{c}{1}$，即a=$\frac{8}{7}$，b=$\frac{18}{7}$，c=$\frac{2}{7}$时，等号成立．
所以$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{9}$b²+c²的最小值为$\frac{8}{7}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．