题目内容
【题目】如图，四边形
与四边形
都是直角梯形，
，
，
，四边形
为菱形，
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若二面角
的余弦值为
，求
的长．
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
（1）取
中点
，连
交
于
，连
，可证得
平面
，可得
在菱形中，
，可得
平面
，同时可证得四边形
是平行四边形，则
，可得
平面，可得证明；
（2）以
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法及二面角
的余弦值为
，可得
的长.
证明（1）：取中点，连交于，连．
，
，
，
，
平面
平面
，
，
在菱形中，，
又
，
平面，
平面
分别是
的中点，
，
，
又
，
，
，
，
四边形是平行四边形，则，
平面，
又
平面
，平面
平面
（2）解：由（1）得
平面，
，
以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
设
是平面
的一个法向量，
则
即
取
，得
，
设
是平面
的一个法向量，
则
即
取
，得
，
∵二面角的余弦值为．
，解得
．
练习册系列答案
一本好题口算题卡系列答案
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【题目】为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：
），经统计，其高度均在区间
内，将其按
分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为
及以上的树苗为优质树苗．
|
| 合计 | |
优质树苗 | 20 | ||
非优质树苗 | 60 | ||
合计 |
（1）求图中
的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于
，
两个试验区，部分数据如上列联表：将列联表补充完整，并判断是否有
的把握认为优质树苗与
，
两个试验区有关系，并说明理由．
参考数据：
| 0.15 | 0．10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：
，其中
.
