题目内容
【题目】已知椭圆
：
（
）过点
与
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的右焦点
，且倾斜角为
的直线
和椭圆交于
、
两点，对于椭圆上任一点
，若
，求
的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，得到关于
，
的方程组，求解可得，的值，则椭圆的方程可求；
（2）由（1）知，
，
，由题意可知
的方程，与椭圆方程联立，化为关于
的一元二次方程，由
，
，
在椭圆上及根与系数的关系可得
，再由基本不等式求最值．
解：（1）∵椭圆过点
与
，∴
，
.
∴
，
，∴椭圆的方程为.
（2）由（1）知
，由题意可知的方程为
，①
椭圆的方程可化为
，②
将①代入②消去
，得
，③
设
，
，则有
，
，
设
，由
得
，
∴
又点在椭圆上，
∴
，④
又，在椭圆上，故有
，
，⑤
而
，⑥
将⑤⑥代入④可得，
∵
，
∴
，当且仅当
时取“=”，则
的最大值为.
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