题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)过点
与
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过椭圆的右焦点
,且倾斜角为
的直线
和椭圆
交于
、
两点,对于椭圆
上任一点
,若
,求
的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)把已知点的坐标代入椭圆方程,得到关于,
的方程组,求解可得
,
的值,则椭圆的方程可求;
(2)由(1)知,,
,由题意可知
的方程,与椭圆方程联立,化为关于
的一元二次方程,由
,
,
在椭圆上及根与系数的关系可得
,再由基本不等式求最值.
解:(1)∵椭圆过点与
,∴
,
.
∴,
,∴椭圆的方程为
.
(2)由(1)知,由题意可知
的方程为
,①
椭圆的方程可化为,②
将①代入②消去,得
,③
设,
,则有
,
,
设,由
得
,
∴又点
在椭圆上,
∴
,④
又,
在椭圆上,故有
,
,⑤
而
,⑥
将⑤⑥代入④可得,
∵,
∴,当且仅当
时取“=”,则
的最大值为
.
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