Question

【题目】如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，CM⊥AB，垂足为M，且AE＝AC＝2，BD＝2BC＝4，

（1）求证：CM⊥ME；

（2）求二面角A﹣MC﹣E的余弦值．

（3）在线段DC上是否存在一点N，使得直线BN∥平面EMC，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）；（3）存在，．

【解析】

（1）根据已知可得AE⊥CM，进而证明CM⊥平面EAM，即可证明结论；

（2）由（1）得出二面角A﹣MC﹣E的平面角为∠AME，解直角三角形AME，即可求出结论；

（3）以M为原点，建立空间直角坐标系，设，求出坐标和平面法向量坐标，即可求解.

（1）∵EA⊥平面ABC；∴AE⊥CM，

又∵CM⊥AB且AB，EM相交于M点，且在平面EAM内；

∴CM⊥平面EAM，∴CM⊥ME．

（2）由（1）知道，∠AME为所求的平面角；

，

∴；

，

，

所以所求二面角的余弦值为；

（3）以M为原点，分别以MB，MC，为x，y轴，建立空间直角坐标系；

在△ABC，可得MB＝1，MA＝3，MC；

则，B（1，0，0），D（1，0，4），

，

设平面EMC的一个法向量；

，取x＝2，得

设；∴；

∵BN∥平面EMN；

∴；

所以；

故线段DC上存在一点N，使得直线BN∥平面EMC，

且．