题目内容
【题目】已知椭圆:
,
,
分别是椭圆短轴的上下两个端点,
是椭圆的左焦点,P是椭圆上异于点
,
的点,若
的边长为4的等边三角形.
写出椭圆的标准方程;
当直线
的一个方向向量是
时,求以
为直径的圆的标准方程;
设点R满足:
,
,求证:
与
的面积之比为定值.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析
【解析】
由
是边长为4的等边三角形得
,进一步求得
,则椭圆方程可求;
由直线
的一个方向向量是
,可得直线
所在直线的斜率
,得到直线
的方程,由椭圆方程联立,求得P点坐标,得到
的中点坐标,再求出
,可得以
为直径的圆的半径,则以
为直径的圆的标准方程可求;
方法一、设
,
求出直线
的斜率,进一步得到直线
的斜率,得到直线
的方程,同理求得直线
的方程,联立两直线方程求得R的横坐标,再结合
在椭圆
上可得
与
的关系,由
求解;
方法二、设直线,
的斜率为k,得直线
的方程为
结合
,可得直线
的方程为
,把
与椭圆方程联立可得
,再由
在椭圆
上,得到
,从而得到
,得
结合
,可得直线
的方程为
与线
的方程联立求得
再由
求解.
解:如图,由
的边长为4的等边三角形,得
,且
.
椭圆的标准方程为
;
解:
直线
的一个方向向量是
,
直线
所在直线的斜率
,则直线
的方程为
,
联立,得
,
解得,
.
则的中点坐标为
,
.
则以为直径的圆的半径
.
以
为直径的圆的标准方程为
;
证明:方法一、设
,
直线的斜率为
,由
,得直线
的斜率为
.
于是直线的方程为:
.
同理,的方程为:
.
联立两直线方程,消去y,得.
在椭圆
上,
,从而
.
,
.
方法二、设直线,
的斜率为k,
,则直线
的方程为
.
由,直线
的方程为
,
将代入
,得
,
是椭圆上异于点
,
的点,
,从而
.
在椭圆
上,
,从而
.
,得
.
,
直线
的方程为
.
联立,解得
,即
.
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某班随机抽查了名学生的数学成绩,分数制成如图的茎叶图,其中
组学生每天学习数学时间不足
个小时,
组学生每天学习数学时间达到一个小时,学校规定
分及
分以上记为优秀,
分及
分以上记为达标,
分以下记为未达标.
(1)根据茎叶图完成下面的列联表:
达标 | 未达标 | 总计 | |
| |||
| |||
总计 |
(2)判断是否有的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关.
参考公式与临界值表:,其中
.
【题目】某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到位教师近
年每人手机月平均使用流量
(单位:
)的数据,其频率分布直方图如下:
若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率为概率,回答以下问题.
(Ⅰ) 从该校教师中随机抽取人,求这
人中至多有
人月使用流量不超过
的概率;
(Ⅱ) 现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下:
套餐名称 | 月套餐费(单位:元) | 月套餐流量(单位: |
这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值
流量,资费
元;如果又超出充值流量,系统就再次自动帮用户充值
流量,资费
元/次,依次类推,如果当月流量有剩余,系统将自动清零,无法转入次月使用.
学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济?说明理由.