题目内容
已知
、
分别是椭圆C:
的左焦点和右焦点,O是坐标系原点, 且椭圆C的焦距为6, 过
的弦AB两端点A、B与
所成
的周长是
.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知点
,
是椭圆C上不同的两点,线段
的中点为
,
求直线
的方程







(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知点




求直线

(Ⅰ) 解:设椭圆C:
的焦距为2c,
∵椭圆C:
的焦距为2, ∴2c=6,即c=3…………1分
又∵
、
分别是椭圆C:
的左焦点和右焦点,且过
的弦AB两端点A、B与
所成⊿AB
的周长是
.
∴⊿AB
的周长 = AB+(AF2+BF2)= (AF1+BF1)+ (AF2+BF2)=4
=
∴
…………4分
又∵
, ∴
∴椭圆C的方程是
…………6分
(Ⅱ)解一:
点
,
是椭圆C上不同的两点,
∴
,
.…………7分
以上两式相减得:
,…………8分
即
,
,…9分
∵线段
的中点为
,∴
. …10分
∴
,…………11分
当
,由上式知,
则
重合,与已知矛盾,因此
,………12分
∴
. ……………………13分
∴直线
的方程为
,即
. ………14分
解二: 当直线
的不存在时,
的中点在
轴上, 不符合题意.
故可设直线
的方程为
,
. ……8分
由
消去
,得
(*)
. ………10分

的中点为
,
.
.解得
. ………12分
此时方程(*)为
,其判别式
.………13分
∴直线
的方程为
. ………14分

∵椭圆C:

又∵







∴⊿AB



∴

又∵



(Ⅱ)解一:



∴


以上两式相减得:

即


∵线段



∴

当




∴

∴直线



解二: 当直线



故可设直线



由










此时方程(*)为


∴直线


略

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