题目内容
【题目】数列满足
,
,
为非零常数.
(1)是否存在实数,使得数列
成为等差数列或等比数列,若存在,找出所有的
,及对应的通项公式;若不存在,说明理由;
(2)当时,记
,证明:数列
是等比数列;
(3)求数列的通项公式.
【答案】(1)存在,,
(2)证明见解析 (3)
【解析】
(1)分别假设存在实数,使得数列
成为等差数列、等比数列,通过等差中项的性质、等比数列的性质,最后可以判断出存在实数
,使得数列
成为等比数列;
(2)由(1)结合已知,通过定义可以证明出数列是等比数列;
(3)根据的不同取值,分类讨论,通过对递推公式的恒等变形,构造新数列,最后求出数列
的通项公式.
(1)假设存在实数,使得数列
成为等差数列,
,
,
,则有
,该一元二次方程根的判别式
,该方程无实根,故不存在实数
,使得数列
成为等差数列.
假设存在实数,使得数列
成为等比数列,则有
,
,
因为
,所以数列
成为等比数列,存在,
,
;
(2)时,由(1)可知:
,
,
,所以数列
是等比数列;
(3),
当时,由
可知:数列
是以
为首项,
为公差的等差数列,故
;
当时,
,设
,
,
所以是以
为首项,
为公比的等比数列,因此
,
所以.
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