题目内容

【题目】已知函数 (mR)

1)当时,

①求函数x=1处的切线方程;

②求函数上的最大,最小值.

2)若函数上单调递增,求实数的取值范围;

【答案】1)①;②函数上的最大值为,最小值为;(2.

【解析】

1)当时,求出函数的导数.

①根据导数的几何意义求出函数x=1处的切线的斜率,写出切线的点斜式方程,最后化成一般形式即可;

②根据导函数的正负性判断出函数的单调性,进而根据函数的极值定义求出函数的极值,再比较给定区间端点函数值进行求解即可;

2)求出函数的导数,根据函数单调性和导数正负性的关系,得到不等式,常变量分离,构造新函数,判断新函数的单调性,求出新函数的最值进行求解即可.

1)当时,.

①当x=1时,

所以函数x=1处的切线的斜率为,因此切线方程为:

②因为,所以当时,,函数单调递减,

时,,函数单调递增,

所以当时,函数有极小值

所以函数上的最大值为,最小值为

2

因为函数上单调递增,

所以 时恒成立,

时恒成立,设

因为当时,函数单调递增,所以

因此要想时恒成立,只需.

所以当函数上单调递增时,实数的取值范围为.

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