题目内容
【题目】已知函数 (mR)
(1)当时,
①求函数在x=1处的切线方程;
②求函数在上的最大,最小值.
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
【答案】(1)①;②函数在上的最大值为,最小值为;(2).
【解析】
(1)当时,求出函数的导数.
①根据导数的几何意义求出函数在x=1处的切线的斜率,写出切线的点斜式方程,最后化成一般形式即可;
②根据导函数的正负性判断出函数的单调性,进而根据函数的极值定义求出函数的极值,再比较给定区间端点函数值进行求解即可;
(2)求出函数的导数,根据函数单调性和导数正负性的关系,得到不等式,常变量分离,构造新函数,判断新函数的单调性,求出新函数的最值进行求解即可.
(1)当时,.
①当x=1时,,
所以函数在x=1处的切线的斜率为,因此切线方程为:
;
②因为,所以当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
所以当时,函数有极小值,
而,
所以函数在上的最大值为,最小值为;
(2),
因为函数在上单调递增,
所以 在时恒成立,
即在时恒成立,设,,
因为当时,函数单调递增,所以,
因此要想在时恒成立,只需.
所以当函数在上单调递增时,实数的取值范围为.