题目内容
【题目】一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时,在每个顶点处染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?
【答案】当为奇数时,有种;当为偶数时,有种.
【解析】
对于该种密码锁的一种密码设置,若相邻两个顶点上所赋值的数字不同,则在它们所在的边上标上;若颜色不同,则标上;若数字和颜色都相同,则标上.于是,对于给定的点上的设置(共有4种),按照边上的字母可以依次确定点上的设置.为了使得最终回到时的设置与初始时相同,标有和的边都是偶数条.
所以,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记、、使得标有和的边都是偶数条的方法数的4倍.
设标有的边有()条,标有的边有()条.
选取条边标记的有种方法,在余下的边中取出条边标记的有第种方法,其余的边标记.
由乘法原理知共有种标记方法.
对、求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为
. ①
这里,约定.
当为奇数时,,此时,
. ②
代入式①中得
.
当为偶数时,若,则式②仍然成立;若,则正边形的所有边都标记,此时,只有一种标记方法.于是,所有不同的密码设置的方法数为
.
综上,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当为奇数时,有种;当为偶数时,有种.
练习册系列答案
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【题目】下表是一个“数阵”:
1 | ( ) | ( ) | ( ) | … | … | |
( ) | 1 | ( ) | ( ) | … | … | |
( ) | ( ) | ( ) | 1 | … | … | |
… | … | … | … | … | … | … |
… | … | |||||
… | … | … | … | … | … | … |
其中每行都是公差不为0等差数列,每列都是等比数列,表示位于第i行第j列的数.
(1)写出的值:
(2)写出的计算公式,以及第2020个1所在“数阵”中所在的位置.