题目内容

【题目】已知,圆C:x2+y2﹣8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.
(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=2 时,求直线l的方程.

【答案】
(1)解:将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+(y﹣4)2=4,

则此圆的圆心为(0,4),半径为2.

若直线l与圆C相切,则有 =2.解得


(2)解:联立方程 并消去y,

得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.

设此方程的两根分别为x1、x2

所以x1+x2=﹣ ,x1x2=

则AB= = =2

两边平方并代入解得:a=﹣7或a=﹣1,

∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0


【解析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标与圆的半径r,(1)当直线l与圆相切时,圆心到直线的距离d等于圆的半径r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d,让d等于圆的半径r,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值;(2)联立圆C和直线l的方程,消去y后,得到关于x的一元二次方程,然后利用韦达定理表示出AB的长度,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值.

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