Question

【题目】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．

（1）求证：直线BD1∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；
（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，

∵PO平面PAC，BD1平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC

（2）解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．

∵BD平面BDD1B1，D1D平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1

（3）解：由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角．

依题意得 ， ，在Rt△CPO中， ，∴∠CPO=30°

∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°

【解析】（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得PO∥BD1 ， 从而证明直线BD1∥平面PAC．（2）证明AC⊥BD，DD1⊥AC，可证AC⊥面BDD1B1 ， 进而证得平面PAC⊥平面BDD1B1 ． （3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，利用边角关系求得∠CPO的大小．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．