Question

【题目】已知函数，其中．

（1）当时，求的值域和单调减区间；

（2）若存在单调递增区间，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）函数的值域为（-∞，0]，f（x）的单调递减区间为[2，3）（2）a＞

【解析】

（1）当时，先求得的定义域，利用换元法，结合二次函数值域和对数函数值域的求法求得函数的值域；结合复合函数单调性同增异减求得函数的单调区间.

（2）对分成和两种情况进行分类讨论，根据复合函数单调性同增异减以及判别式，求得的取值范围.

（1）当a=4时，f（x）=log4（-x2+4x-3）=log4[-（x-2）2+1]，

设t=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，

由-x2+4x-3＞0，得x2-4x+3＜0，得1＜x＜3，即函数的定义域为（1，3），

此时t=-（x-2）2+1∈（0，1]，

则y=log4t≤log41，即函数的值域为（-∞，0]，

要求f（x）的单调减区间，等价为求t=-（x-2）2+1的单调递减区间，

∵t=-（x-2）2+1的单调递减区间为[2，3），

∴f（x）的单调递减区间为[2，3）．

（2）若f（x）存在单调递增区间，

则当a＞1，则函数t=-x2+ax-3存在单调递增区间即可，则判别式△=a2-12＞0得a＞或a＜舍，

当0＜a＜1，则函数t=-x2+ax-3存在单调递减区间即可，则判别式△=a2-12＞0得a＞或a＜-，此时a不成立，

综上实数a的取值范围是a＞．