题目内容
9.设椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的一个顶点与抛物线x2=4$\sqrt{2}$y的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程.
(Ⅱ)是否存在直线l,使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB.是否存在λ,使|AB|2=λ$\sqrt{|{MN}|}$?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
分析 (Ⅰ)通过抛物线x2=4$\sqrt{2}$y的焦点可得b=$\sqrt{2}$,利用e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$可得a2=3,进而可得结论;
(Ⅱ)通过题意可设直线l的方程为:x=my+1,代入椭圆C的方程利用韦达定理及$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1,计算即可;
(Ⅲ)通过设直线l的方程为:x=my+1并代入椭圆C的方程,利用韦达定理及两点间距离公式可得|MN|=$\frac{4\sqrt{3}(1+{m}^{2})}{3+2{m}^{2}}$,通过设直线AB的方程为:x=my并代入椭圆C的方程,同理可得|AB|2=$\frac{24(1+{m}^{2})}{3+2{m}^{2}}$,计算即得结论.
解答 解:(Ⅰ)由已知得b=$\sqrt{2}$,
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴a2=3,
∴椭圆C的方程为:$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$;
(Ⅱ)结论:存在直线l:y=±$\sqrt{2}$(x-1),使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1.
理由如下:
若直线l的斜率为0,则$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-3(舍去);
若直线斜率不为0,设直线l的方程为:x=my+1,
代入椭圆C的方程,消去y整理得:
(3+2m2)y2+4my-4=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则有:y1+y2=-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$,y1y2=-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$,
又∵x1=my1+1,x2=my2+1,
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2
=(my1+1)(my2+1)+y1y2
=(1+m2)y1y2+m(y1+y2)+1
=(1+m2)(-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$)+m(-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$)+1
=-1,
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴直线l方程为:y=±$\sqrt{2}$(x-1);
(Ⅲ)结论:存在λ=$\sqrt{12}$,使|AB|2=λ$\sqrt{|{MN}|}$.
理由如下:
设直线l的方程为:x=my+1,
代入椭圆C的方程,消去y整理得:
(3+2m2)y2+4my-4=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则有:y1+y2=-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$,y1y2=-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$,
∴|MN|=$\sqrt{({x}_{1}-{x}_{2})^{2}+({{y}_{1}-{y}_{2})}^{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{(-\frac{4m}{3+2{m}^{2}})^{2}+4•\frac{4}{3+2{m}^{2}}}$
=$\frac{4\sqrt{3}(1+{m}^{2})}{3+2{m}^{2}}$,
设直线AB的方程为:x=my,
代入椭圆C的方程,得:y2=$\frac{6}{3+2{m}^{2}}$,
设A(x3,y3),B(x4,y4),
则|AB|2=($\sqrt{1+{m}^{2}}$|y3-y4|)2
=(1+m2)4y2=$\frac{24(1+{m}^{2})}{3+2{m}^{2}}$,
∵$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=2$\sqrt{3}$=$\sqrt{12}$,
∴λ=$\sqrt{12}$,
∴存在λ=$\sqrt{12}$,使|AB|2=λ$\sqrt{|{MN}|}$.
点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
A. | 68.26% | B. | 95.44% | C. | 99.74% | D. | 31.74% |
A. | 随机变量ξ-N(3,σ2),若P(ξ>6)=0.3,则P(0<ξ<3)=0.2 | |
B. | 如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不改变 | |
C. | 对命题p:?x0∈R,使得x02-x0+1<0,¬p:?x∈R,有x2-x+1≥0 | |
D. | 命题“在△ABC中,若sinA=sinB,则△ABC为等腰三角形”的否命题为真命题 |
A. | $\frac{10}{9}$ | B. | $\frac{9}{7}$ | C. | $\frac{7}{10}$ | D. | $\frac{9}{10}$ |
A. | $\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}D}$ | B. | $\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{D{D}_{1}}$ | ||
C. | $\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{B{B}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$ | D. | $\overrightarrow{A{B}_{1}}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$ |