题目内容
4.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,an+1=2Sn+1,n∈N*.(1)写出a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=0,bn-bn-1=log3an(n≥2),求数列{bn}的通项公式;
(3)记Tn为数列{nan}的前n项和,求Tn.
分析 (1)由数列的通项和前n项和的关系,结合等比数列的定义和通项公式,即可得到所求;
(2)bn-bn-1=log33n-1=n-1(n≥2),由数列的恒等式bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…(bn-bn-1),由等差数列的求和公式,计算即可得到所求;
(3)nan=n•3n-1,运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简即可得到所求和.
解答 解:(1)an+1=2Sn+1,可得a2=2a1+1=3,
a3=2(a1+a2)+1=2×(1+3)+1=9,
当n>1时,an=2Sn-1+1,
相减可得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,
即an+1=3an,因为$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3,则an+1=3an,
所以{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,
则an=3n-1;
(2)数列{bn}满足b1=0,bn-bn-1=log3an(n≥2),
即有bn-bn-1=log33n-1=n-1(n≥2),
bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…(bn-bn-1)
=0+1+2+…+(n-1)=$\frac{n(n-1)}{2}$;
显然b1=0符合上式,所以bn=$\frac{n(n-1)}{2}$;
(3)nan=n•3n-1,
前n项和Tn=1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1,
3Tn=1•31+2•32+3•33+…+n•3n,
两式相减可得,-2Tn=1+31+32+…+3n-1-n•3n
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3n,
化简可得,Tn=$\frac{(2n-1)•{3}^{n}}{4}$+$\frac{1}{4}$.
点评 本题考查数列的通项的求法,注意运用数列的通项和前n项和的关系,以及数列的恒等式,考查数列的求和方法:错位相减法,考查运算能力,属于中档题.
A. | (-2,2) | B. | (5,7) | C. | (3,5) | D. | (1,3) |
A. | ($\frac{1}{4}$,1) | B. | (1,4) | C. | (1,8) | D. | (8,+∞) |
A. | [1,+∞) | B. | (-∞,-1]∪[1,+∞) | C. | [-1,3] | D. | (-∞,1] |