题目内容
12.已知命题P:对x∈[1,2],不等式x2≥k恒成立,命题Q:关于x的方程x2-x+k=0有实数根,如果命题“¬P”为假,命题“P∧Q”为假,求k的取值范围.分析 首先,判断出P,Q的真假,求解所给命题都是真命题时,k的取值情况,然后,结合条件求解即可.
解答 解:因为命题“¬P”为假,所以命题P是真命题,
又因为命题“P∧Q”为假,所以命题Q是假命题,
要使对任意x∈[1,2],不等式x2≥k恒成立,只需k≤(x2)min=1,
所以命题P是真命题的条件是:k≤1.
关于x的方程x2-x+k=0有实数根,则只需△=1-4k≥0,即k≤$\frac{1}{4}$.
命题Q是真命题的条件是:k≤$\frac{1}{4}$,所以命题Q是假命题的条件是k>$\frac{1}{4}$.
综上所述,使命题“¬P”为假,命题“P∧Q”为假的条件是k的取值范围为 $(\frac{1}{4},1]$.
点评 本题重点考查了不等式恒成立问题、命题的真假判断、复合命题的真假判断等知识,属于中档题.
练习册系列答案
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