题目内容
17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2$\sqrt{3}$，a+b=6，$\frac{acosB+bcosA}{c}$=2cosC，则c=（ ）
| A． | 2$\sqrt{7}$ | B． | 4 | C． | 2$\sqrt{3}$ | D． | 3$\sqrt{3}$ |
分析 运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．
解答 解：$\frac{acosB+bcosA}{c}$=$\frac{sinAcosB+sinBcosA}{sinC}$
=$\frac{sin（A+B）}{sin（A+B）}$=1，
即有2cosC=1，
可得C=60°，
若S△ABC=2$\sqrt{3}$，则$\frac{1}{2}$absinC=2$\sqrt{3}$，
即为ab=8，
又a+b=6，
由c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-2ab-ab
=（a+b）2-3ab=62-3×8=12，
解得c=2$\sqrt{3}$．
故选C．
点评 本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
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