题目内容
4.如图ABCD为正方形,VD⊥平面ABCD,VD=AD=2,F为VA中点,E为CD中点.①求证:DF∥平面VEB;
②求平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值;
③V、D、C、B四点在同一个球面上,所在球的球面面积为S,求S.
分析 ①取VB的中点O,连接OE,OF,证明四边形OFDE是平行四边形,可得OE∥DF,利益线面平行的判定定理证明DF∥平面VEB;
②利用面积射影法求平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值;
③V、D、C、B四点在同一个球面上,VB是球的直径,即可取出所在球的球面面积.
解答 ①证明:取VB的中点O,连接OE,OF,则
因为F为VA中点,
所以OF∥AB,OF=$\frac{1}{2}$AB,
因为E为CD中点,
所以DE=$\frac{1}{2}$CD,
因为AB∥CD,
所以OF∥DE,OF=DE,
所以四边形OFDE是平行四边形,
所以OE∥DF,
因为OE?平面VEB,DF?平面VEB
所以DF∥平面VEB;(4分)
②解:△VBE中,BE=VE=$\sqrt{5}$,VB=2$\sqrt{3}$,S△VBE=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$,
因为S△VAD=$\frac{1}{2}×2×2$=2,
所以平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$;(8分)
③解:因为V、D、C、B四点在同一个球面上,
所以VB是球的直径,VB=2$\sqrt{3}$,
所以S=4π×3=12π.(12分)
点评 本题考查线面平行,考查二面角的余弦值、球的球面面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | 6 | C. | 3 | D. | 1 |