题目内容
如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD丄底面ABCD,..
(1)求证:平面PAB丄平面PCD
(2)如果AB=BC=2,PB=PC=求四棱锥P-ABCD的体积.
(1) 见解析 (2)
解析试题分析:(1)欲证平面平面,只需证其中的一个平面经过另一平面的一条垂线即可,考虑到题设中所给的矩形以及面面垂直关系,易证:,从而平面;
(2)作,垂足为,连结;可证≌是的中点,
从而求得四棱锥的高,进一步求得四棱锥的体积.
试题解析:(Ⅰ)因为四棱锥的底面是矩形,所以,
又侧面底面,所以.
又,即,而,所以平面.
因为PAÌ平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD. 4分
(Ⅱ)如图,作PO⊥AD,垂足为O,则PO⊥平面ABCD.
连结OB,OC,则PO⊥OB,PO⊥OC.
因为PB=PC,所以Rt△POB≌Rt△POC,所以OB=OC.
依题意,ABCD是边长为2的正方形,由此知O是AD的中点. 7分
在Rt△OAB中,AB=2,OA=1,OB=.
在Rt△OAB中,PB=,OB=,PO=1. 10分
故四棱锥P-ABCD的体积V=AB2·PO=.
考点:1、平面与平面垂直的判定与性质;2、棱锥的体积.
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