Question

3．如图，点A，B分别是椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x-2）²+y²=9，经过椭圆E的左焦点F．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．求$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过圆B的圆心坐标可得a=2，在圆B方程中令y=0得c=1，进而可得结论；
（Ⅱ）①当直线l为x轴时，显然有$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{BP}$=0；②设直线AP：x=ty-2，并与椭圆E的方程联立，利用韦达定理可得y_P=$\frac{12t}{4+3{t}^{2}}$，x_P=$\frac{6{t}^{2}-8}{4+3{t}^{2}}$，通过向量数量积的坐标形式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵以椭圆E的右顶点B为圆心的圆B方程为：（x-2）²+y²=9，
∴圆B的圆心坐标的横坐标即为a的值，∴a=2，
在圆B：（x-2）²+y²=9中令y=0，得F（-1，0），
∴b²=4-1=3，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）①当直线l为x轴时，显然有$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{BP}$=0；
②设直线AP：x=ty-2，并与椭圆E的方程联立，
消去x可得：（4+3t²）y²-12ty=0，
由椭圆E的方程可知：A（-2，0），
由韦达定理可得：y_P=$\frac{12t}{4+3{t}^{2}}$，x_P=$\frac{6{t}^{2}-8}{4+3{t}^{2}}$，
在直线AP：x=ty-2中令x=0，得：y_Q=$\frac{2}{t}$，
∴$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{BP}$=（1，$\frac{2}{t}$）•（$\frac{6{t}^{2}-8}{4+3{t}^{2}}$-2，$\frac{12t}{4+3{t}^{2}}$）=$\frac{8}{4+3{t}^{2}}$∈（0，2）；
综上所述，$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范围为[0，2）．

点评 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、探索求解能力，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题．