Question

20．设f（x）是定义在R上的单调递减函数，如果对任意的x∈[0，2]，不等式f（1-kx）＞f（2+x²）都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 对任意的x∈[0，2]，不等式f（1-kx）＞f（2+x²）都成立，等价于对任意的x∈[0，2]，不等式1-kx＜2+x²恒成立，分类讨论，分离参数，利用基本不等式，即可求k的取值范围．

解答 解：由题意，f（x）是定义在R上的单调递减函数，对任意的x∈[0，2]，不等式f（1-kx）＞f（2+x²）都成立，
∴对任意的x∈[0，2]，不等式1-kx＜2+x²恒成立，
x=0，满足；
x∈（0，2]，时，-k＜x+$\frac{1}{x}$恒成立
∴-k＜2，
∴k＞-2．

点评 本题考查单调性，考查不等式恒成立问题，考查学生的计算能力，转化为对任意的x∈[0，2]，不等式1-kx＜2+x²恒成立是关键．