Question

【题目】已知（为常数）．

（1）当时，求函数的单调性；

（2）当时，求证： ；

（3）试讨论函数零点的个数．

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，求导研究导函数的正负即可；（2）记，由题意即证，当时， ，对函数求导研究单调性求最值即可；（3）直接对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的变化趋势，结合图像讨论函数的零点个数。

解析：

（1）解当时， ，所以（），

当时， ；当时， ；

故在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：记，

由题意即证，当时， ．

又（），

记，则，

所以在上恒成立，则在上单调递减，

，即证．

（3）由题意， （）．

①若，则，故在上单调递增，

又因为，且，

由零点存在性定理知， 在上有且只有一个零点．　

②若，当， ，则在上单调递增；

当， ，则在上单调递减，

所以， 是在上的极大值点，也是最大值点， .

（i）当，即， 恒成立，则在上无零点；

（ii）当，即， ，则在上有一个零点；

（iii）当，即， ，

而当时，有，理由如下：令（），则，

所以在上单调递增， ，即．　

，由（2）知，而，

由在上的单调性及零点存在性定理可知， 分别在和上各有一个零点，即在上有两个零点．

综上所述，当或时， 在上有一个零点；

当时， 在上有两个零点；

当时， 在上没有零点．.