题目内容
【题目】已知数列满足
,当
时,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列
的前
项和为
,求证:
.
【答案】(1)(2)证明见解析;
【解析】
(1)根据原等式递推,得到和
之间的关系,然后得到数列
是等差数列,最后根据等差数列的通项公式即可求解数列
的通项公式,也可将已知等式转化为
和
之间的关系式,得到数列
是等差数列,并求出
,再根据
和
之间的关系求出数列
的通项公式;(2)先由(1)得到数列
的通项公式,并将其转化为可以裂项的形式,再利用裂项相消法求得
,最后根据数列的增减性即可证明.
解:(1)因为当时,
,①
所以,②
②-①得,,即
,即
,
又,所以
,
所以数列是首项为2,公差为1的等差数列,
所以,所以
.
故数列的通项公式为
.
(2)由(1)知,
所以,
所以
.
又数列是递减数列,所以
,
所以,
故.
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