题目内容
【题目】如图,矩形和菱形
所在的平面相互垂直,
,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ) 求,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由矩形和菱形
所在的平面相互垂直,
,进而证得
平面
,证得
,再根菱形ABEF的性质,证得
,利用线面垂直的判定定理,即可证得
平面
.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知,
,
两两垂直,以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面ACD和平面ACG一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.
(Ⅰ)证明:∵矩形和菱形
所在的平面相互垂直,
,
∵矩形菱形
,∴
平面
,
∵AG平面
,∴
,
∵菱形中,
,
为
的中点,∴
,∴
,
∵,∴
平面
.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知,
,
两两垂直,以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,
建立空间直角坐标系,
∵,
,则
,
,
故,
,
,
,
则,
,
,
设平面的法向量
,则
,
取,得
,
设平面的法向量
,则
,
取,得
,
设二面角的平面角为
,则
,
由图可知为钝角,所以二面角
的余弦值为
.
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