题目内容
【题目】已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,及y取最大值时x的值.
【答案】当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.
【解析】试题分析:先求f(x)值域得函数定义域,再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系得最大值
试题解析:∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9],
∴y=[f(x)]2+f(x2)
=(2+log3x)2+(2+log3x2)
=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9],
∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足∴1≤x≤3.
令u=log3x,则0≤u≤1.
又∵函数y=(u+3)2-3在[-3,+∞)上是增函数,
∴当u=1,即x=3时,函数y=(u+3)2-3取得最大值13.
故当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.
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