Question

【题目】已知直线方程为，其中

（1）求证：直线恒过定点；

（2）当变化时，求点到直线的距离的最大值；

（3）若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

试题（1）本题考察的是直线恒过定点，本题中直线含参数，我们需要把直线方程进行化简，把含的综合在一起，求出两个方程的解集即可得到定点．

（2）本题考察的是求点到直线的距离的最大值，因为直线恒过定点，只需保证定点与已知点的连线与已知直线垂直时距离最大，所以距离的最大值即为已知点与定点的距离，利用两点间距离公式即可求出答案．

（3）本题考察的是求直线的截距问题，由（1）直线过定点，根据点斜式方程写出直线方程，分别求出在轴的截距，根据面积公式结合基本不等式即可求出相应的斜率，从而求出直线方程．

试题解析：（1）证明：直线方程为，

可化为

对任意都成立，所以，解得，所以直线恒过定点．

（2）点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，

即

（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，直线方程为，

则，

当且仅当时取等号，面积的最小值为4

此时直线的方程为