题目内容
【题目】设函数
，若存在
（其中
）
（1）求实数
的取值范围，
（2）证明：
.
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
（1）先利用导数的符号讨论函数的单调性，根据题设条件可得函数的最大值为正，再分
和
两种情况讨论，前者无两个不同的零点，后者可利用零点存在定理证明函数有两个零点.
（2）根据（1）可把要证明的不等式转化为证明
，根据函数的单调性及
可把前者转为
， 构建新函数
可证明该不等式.
解：（1）令
，则
时，
时；当
，
，
在
递增，
递减，且
，
由题设，
有两个不同的零点，故
即
.
若，则当时，
，故在
无零点；
而
在递增，故在
上至多有一个零点，故不符合；
若，则
，
，
考虑
，因为，故
，
为
上的增函数，故
即
，
因在递增，递减，且
，结合零点存在定理可知有两个不同的零点，故.
（2）由（1）知：
，
要证：
成立，只需证：，
在递增，故只需证：
即证
.
只需证：
，即证：
.
令
，
在上单调递减,
.证毕
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