题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
.
（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）以点
为坐标原点，
、
、
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，计算出向量
、
，然后利用空间向量法计算出异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）计算出平面
的一个法向量
，平面
的一个法向量
，然后利用空间向量法计算出二面角
的余弦值.
（1）由题意可知，、、两两垂直，不妨以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
易得
，则点
、
、
、
.
，
，
.
因此，异面直线与所成角的余弦值为；
（2）易知点
、、、.
易知平面的一个法向量为
，设平面的一个法向量为
，
，
，
由
，得
，解得
，令
，则
，
，
所以，平面的一个法向量为
，
，
由图象可知，二面角为锐角，它的余弦值为.
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