Question

6．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+2（a为常数）．
（Ⅰ）当a=4时，判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并求f（x）在[1，3]上的值域；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=4的值代入函数解析式，通过求导判断函数的单调性即可；结合函数的单调性进而求出函数在闭区间上的最值；
（Ⅱ）问题转化为a＞-x²-2x在x∈[1，+∞）恒成立，求出函数y=-x²-2x的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=4时：f（x）=x+$\frac{4}{x}$+2，f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
证明如下：
由f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-2）}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
由函数的单调性得：f（x）在[1，2）递减，在（2，3]递增，
而f（1）=1+4+2=7，f（2）=6，f（3）=6$\frac{1}{3}$，
∴f（x）的值域是[6，7]；
（Ⅱ）对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立
等价于x+$\frac{a}{x}$+2＞0在x∈[1，+∞）恒成立
等价于a＞-x²-2x=-（x+1）²+1恒成立，
而当x=1时，y=-（x+1）²+1取最大值-3，
故a＞-3．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，函数闭区间上的最值，考查函数恒成立问题，是一道中档题．