Question

3．已知圆锥高为H，底面半径为R，则它的内接圆柱的高为x，则这个内接圆柱的侧面积为-$\frac{2πR}{H}$（x-$\frac{H}{2}$）²+$\frac{πRH}{2}$，当x=$\frac{H}{2}$时，内接圆柱的侧面积最大．

Answer 1

分析 根据圆锥的底面半径与高，可得内接圆柱的高为x时，圆柱的高，代入圆柱侧面积公式，可得空一答案，结合二次函数的单调性与最值，可得空二答案．

解答 解：圆锥、圆柱的轴截面如图所示，
其中SO=H，OA=OB=R，OK=x．
设圆柱底面半径为r，

则 r：R=（H-x）：H，
设圆柱的侧面积为S．
∵r=$\frac{R}{H}$（H-x），
∴S=2π•$\frac{R}{H}$（H-x）x=-$\frac{2πR}{H}$（x-$\frac{H}{2}$）²+$\frac{πRH}{2}$，
∴当x=$\frac{H}{2}$时，S_max=$\frac{πRH}{2}$．
故答案为：-$\frac{2πR}{H}$（x-$\frac{H}{2}$）²+$\frac{πRH}{2}$，$\frac{H}{2}$．

点评 本题考查的知识点是旋转体，圆柱的侧面积公式，相似三角形的性质，难度中档．