Question

11．已知点P是圆O：x²+y²=1上的任意一点，定点A（4，0），B（s，0）（s≠4）．
（1）若P是第一象限内的点，过点P作圆O的切线与x轴、y轴交于M、N两点．求|MN|的最小值；
（2）若存在常数t，使得|PA|=$\frac{1}{t}$|PB|恒成立，求s，t的值．

Answer 1

分析 （1）设点P的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），则a²+b²=1，求出M，N坐标，代入两点之间距离公式，利用基本不等式，可得答案；
（2）由|PA|=$\frac{1}{t}$|PB|恒成立，可得t²|PA|²=|PB|²，结合多项式相等的定义，可得满足条件的s，t的值．

解答 解：（1）设点P的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），则a²+b²=1，
过点P作圆O的切线切线方程为：ax+by=1，
令x=0，则y=$\frac{1}{b}$，令y=0，则x=$\frac{1}{a}$，
故M、N两点坐标分别为（$\frac{1}{a}$，0）和（0，$\frac{1}{b}$），
则|MN|=$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}$=$\sqrt{（\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}）（{a}^{2}+{b}^{2}）}$=$\sqrt{（\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}）+2}$≥$\sqrt{2\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}}+2}$=2，
故|MN|的最小值为2，
（2）∵|PA|=$\frac{1}{t}$|PB|，
∴t²|PA|²=|PB|²，
即t²[（a-4）²+b²]=（a-s）²+b²，
又由a²+b²=1，
可得：t²（17-8a）=s²+1-2sa，
∴$\left\{\begin{array}{l}8{t}^{2}=2s\\ 17{t}^{2}={s}^{2}+1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}S=\frac{1}{4}\\ t=\frac{1}{4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}s=4\\ t=1\end{array}\right.$（舍去）

点评 本题考查的知识点是圆的切线方程，两点之间的距离公式，基本不等式，恒成立问题，难度中档．