Question

18．已知函数f（x）=ax²+mlnx（m∈R），且f′（$\frac{1}{2}$）=2m+$\frac{1}{2}$．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，3），求m的值；
（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：?x₁，x₂∈[1，m]，恒有H（x₁）-H（x₂）＜1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由题意可得a=$\frac{1}{2}$，再由切线的斜率和两点的斜率公式，计算可得m；
（2）求得H（x）的导数，可得函数H（x）在[1，m]上单调递减．H（x₁）-H（x₂）≤H（1）-H（m）=$\frac{1}{2}$m²-mlnm-$\frac{1}{2}$．由H（x₁）-H（x₂）＜1?$\frac{1}{2}$m²-mlnm-$\frac{1}{2}$＜1?$\frac{1}{2}$m-lnm-$\frac{3}{2m}$＜0．记h（m）=$\frac{1}{2}$m-lnm-$\frac{3}{2m}$（1＜m≤e），判断其单调性求其最值即可证得．

解答 解：（1）f（x）=ax²+mlnx的导数为f′（x）=2ax+$\frac{m}{x}$，
f′（$\frac{1}{2}$）=2m+$\frac{1}{2}$，可得a+2m=2m+$\frac{1}{2}$，即a=$\frac{1}{2}$，
即有f′（x）=x+$\frac{m}{x}$，
曲线y=f（x）在点（1，$\frac{1}{2}$）处的切线斜率为1+m，
由两点的斜率公式可得1+m=$\frac{3-\frac{1}{2}}{3-1}$，解得m=$\frac{1}{4}$；
（2）证明：∵H（x）=f（x）-（m+1）x=$\frac{1}{2}$x²+mlnx-（m+1）x，
∴H′（x）=x+$\frac{m}{x}$-m-1．
?x∈[1，m]，H′（x）=$\frac{（x-1）（x-m）}{x}$≤0，
所以函数H（x）在[1，m]上单调递减．
于是H（x₁）-H（x₂）≤H（1）-H（m）=$\frac{1}{2}$m²-mlnm-$\frac{1}{2}$．
H（x₁）-H（x₂）＜1?$\frac{1}{2}$m²-mlnm-$\frac{1}{2}$＜1?$\frac{1}{2}$m-lnm-$\frac{3}{2m}$＜0．
记h（m）=$\frac{1}{2}$m-lnm-$\frac{3}{2m}$（1＜m≤e），
则h′（m）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{2{m}^{2}}$，
所以函数h（m）在（1，e]上是单调增函数，
所以h（m）≤h（e）=$\frac{e}{2}$-1-$\frac{3}{2e}$=$\frac{（e-3）（e+1）}{2e}$＜0，
故对?x₁，x₂∈[1，m]，恒有H（x₁）-H（x₂）＜1．

点评 本题主要考查函数恒成立问题以及函数解析式的求法，是对函数以及导函数知识的综合考查，是有难度的题．