Question

7．已知sinα=$\frac{1}{5}$+cosα，且$α∈（0，\frac{π}{2}）$，则$\frac{{\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）}}{cos2α}$的值为$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 把已知的等式变形后两边平方，求出sinαcosα=$\frac{12}{25}$，然后求得sinα+cosα，把要求值的代数式化为含有sinα+cosα的代数式得答案．

解答 解：由sinα=$\frac{1}{5}$+cosα，得$sinα-cosα=\frac{1}{5}$  ①，
两边平方可得sinαcosα=$\frac{12}{25}$．
∴sinα+cosα=$\sqrt{1+2sinαcosα}$=$\sqrt{1+\frac{24}{25}}=\frac{7}{5}$  ②，
∴$\frac{{\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）}}{cos2α}$=$\frac{\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}cosα-\frac{\sqrt{2}}{2}sinα）}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}$=$\frac{1}{sinα+cosα}=\frac{1}{\frac{7}{5}}=\frac{5}{7}$．
故答案为：$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查三角函数的化简与求值，考查了倍角公式的应用，是中档题．