Question

13．已知a，b，c为△ABC中角A，B，C的对边，且a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 先将b、c用a表示，然后判定a、b、c的大小，根据大边对大角，最后根据余弦定理求出最大内角即可判断三角形的形状．

解答 解：由a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，
则a²-a-2b-（a+2b+3）=0，
则有b=$\frac{1}{4}$（a²-2a-3）=$\frac{1}{4}$（a-3）（a+1），c=$\frac{1}{4}$（a²+3），
由于b＞0，则a²-2a-3＞0，即有a＞3．
则有b-c=-$\frac{1}{2}$（a+3）＜0，
即b＜c   ①
又c-a=$\frac{1}{4}$（a²-4a+3）=$\frac{1}{4}$（a-3）（a-1）＞0，
则c＞a   ②．
由①②可得c边最大．
在三角形ABC中，有余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+（b+c）（b-c）}{2ab}$
=$\frac{-\frac{1}{4}a（a-3）（a+1）}{\frac{1}{2}a（a-3）（a+1）}$=-$\frac{1}{2}$，
所以C=120°，
则△ABC为钝角三角形．

点评 本题主要考查了三角形的边角关系，余弦定理以及特殊角的三角函数值，利用作差的方法得到c为最大边是解题的关键，同时考查了利用了消元的思想，属于中档题．