Question

(本题满分13分)
如图，在六面体中，平面∥平面，
⊥平面，,,
∥．且,．
（1）求证： ∥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3） 求五面体的体积．

Answer 1

（1）略
（2）
（3）4

由已知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，

则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）
（1），
∴，所以BF∥CG．又BF平面ACGD，故 BF//平面ACGD …4分
（2），设平面BCGF的法向量为，
则，令，则，
而平面ADGC的法向量
∴＝  
故二面角D-CG-F的余弦值为．9分
（3）设DG的中点为M，连接AM、FM， 则＝
＝＝＝．……………13分
解法二设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，
所以MF//DE，且MF＝DE又∵AB//DE，且AB＝DE  ∴MF//AB，且MF＝AB
∴四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM，
又BF平面ACGD 故 BF//平面ACGD……………4分
（利用面面平行的性质定理证明，可参照给分）
（Ⅱ）由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD ，DE⊥DG即DE⊥面ADGC ，
∵MF//DE，且MF＝DE ， ∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则
显然∠MNF是所求二面角的平面角．
∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1

∴， ∴MN＝  在直角三角形MNF中，MF＝2，MN
∴＝＝＝，＝
故二面角D-CG-F的余弦值为…………9分
（3）＝＝
＝＝．……………13分