题目内容
【题目】在四棱锥
中，
，
，
，
，
分别为
的中点，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）设
，若平面
与平面
所成锐二面角
，求
的取值范围.
【答案】(1)详见解析; (2)
.
【解析】试题分析：(1) 求证：平面ABE⊥平面BEF, 只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可, 注意到AB∥CD，CD⊥AD，AD = 2AB,而
分别为
的中点，可得四边形ABCD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．
试题解析：(Ⅰ)
，分别为的中点，
为矩形，
2分
∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF． 4分
(Ⅱ)
,又
，
又
,所以
面
,
6分
法一：建系
为
轴，
为
轴，
为
轴,
，
,
平面
法向量
，平面
法向量
·9分
，可得. 12分
法二：连
交
于点
,四边形
为平行四边形，所以为的中点，连
,
则
,
面
,
,
作
于
点，所以
面
,
连
,则
,
即为所求 9分
在
中，
,
解得12 分
【题目】随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄（单位：岁） | [15,25） | [25,35） | [35,45） | [45,55） | [55,65） | [65,75） |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面
列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
（Ⅱ）若从年龄在[25,35）和[55,65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55,65）的概率.
参考数据如下：
附临界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的观测值： 
（其中
）
